前言
泰勒展开式能用于求极限、不等式的证明、判断函数极值以及根的存在唯一性证明.
定义
定义 1 ：
对于一般函数$f(x)$,设它在点$x_0$存在$n$阶导数,则$n$次多项式
\[T_n(x)=f(x_0)+\frac {f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac {f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac {f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n\]称为函数$f$在点$x_0$处的泰勒展开式.
定义 2 ：
若函数$f(x)$在点$x_0$存在$n+1$阶导数,则有$f(x)=T_{n}(x)+R_{n+1}$,即
\[f(x)=f(x_0)+\frac {f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac {f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac {f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n+R_{n+1}\]上述式子即为函数$f$在点$x_0$处的泰勒展开式,其中$R_{n+1}=\frac {f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$叫做拉格朗日余项.
例题
(2014年全国一卷理科数学第21题)设函数$f(x)=ae^xlnx+\frac {be^{x-1}}{x}$,曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线为$y=e(x-1)+2$.
(1)求$a,b$;
(2)证明:$f(x)>1$
